\(\triangleright\) Définition d'une transformations canoniques
Une transformation canonique est un changement de coordonnées \((q,p)\to (Q,P)\) qui préserve les équations canoniques (Mécanique Hamiltonienne (Equations du mouvement)).
$$\begin{cases}\dot q(t)=\frac{\partial H(q,p,t))}{\partial p}\\ \dot p=-\frac{\partial H(q,p,t)}{\partial q}\end{cases}\to \begin{cases}\dot Q(t)=\frac{\partial H(Q,P,t)}{\partial P}\\ \dot P(t)=-\frac{\partial H(Q,P,t)}{\partial Q}\end{cases}$$
Une transformation canonique est une transformation qui vérifie (+ fonction de contact: \(Q=Q(q,p,t)\) et \(P=P(q,p,t)\)):
$$H'(Q,P,t)={{H(q,p,t)+p\dot Q -p\dot q+\frac{\partial G}{\partial t} }}$$
Avec \(G\) une Fonction génératrice.
Invariance canonique
\(\triangleright\) Théorèmes généraux sur les transformations canoniques
Les Crochets de Poisson sont indépendants des coordonnées canoniques: \({{\{f,g\}_{q,p}=\{f,g\}_{Q,P} }}\)
Une transformation \((q,p)\to(Q,P)\) est canonique si: $$\{Q_i,Q_j\}_{q,p}=0\quad \{P_i,P_j\}_{q,p}=0\quad \{Q_i,P_j\}_{q,p}=\delta_{i,j}$$
Exemples
\(\triangleright\) Exemples de transformations canoniques
Transformation de Hamilton-Jacobi : réduit l'espace des phases en un point
Transformation angle-action : réduit l'espace des phases en une droite
La transformation d'Hamilton-Jacobi a pour objectif de réduire l'espace des phases en un point.
La Fonction génératrice associé à cette transformation est donnée par l'équation:
$${{H(q,\frac{\partial S}{\partial q},t)+\frac{\partial S}{\partial t}(q,P,t)}}=0$$
